Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho tứ giác \(ABCD\) và một điểm \(S\) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \).
- B.
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {CD} \)(Với \(S\) là điểm tùy ý).
- C.
Nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \) thì \(ABCD\) là hình bình hành
- D.
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
A. Sai vì \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow B \equiv C\) (Vô lí)
B. Sai vì: Gọi \(O\) và \(O'\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow O \equiv O'\) điều này không đúng nếu \(ABCD\) không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.
D. sai vì: Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khi đó:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0
\end{array}$
Hay \(O\) là trung điểm \(MN\). Điều này chưa chắc đúng nên D sai.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ không đồng phẳng xét các vectơ $\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b ;\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ;$ $\overrightarrow z = - 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c $
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$, Tìm giá trị của $k$ thích hợp để $\overrightarrow {AB} \,\, + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = k\overrightarrow {A{C_1}}$.
Cho hai điểm phân biệt \(A,B\) và một điểm \(O\) bất kì không thuộc đường thẳng \(AB\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm giá trị của \(k\) thích hợp điền vào đẳng thức véc tơ: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + k\left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} } \right) = \overrightarrow 0 \).
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$. Đặt $\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {{\rm{AB}}} = \overrightarrow b ;\overrightarrow {{\rm{AC}}} = \overrightarrow c ;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d $ trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng \(a\). Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh AB và G là trọng tâm của tam giác BCD. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Phân tích véc tơ \(\overrightarrow {MG} \) theo \(\overrightarrow d ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \).
Cho tứ diện đều \(ABCD\),\(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(CD\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) đều,\(AD = AC\). Giá tri của \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\)là:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA'\), \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
Cho tứ diện \(ABCD.\) \(M\) là điểm trên đoạn \(AB\) và \(MB = 2MA\). \(N\) là điểm trên đường thẳng $CD$ mà \(\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {CD} \). Nếu \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng thì giá trị của \(k\) là:
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, đặt $\alpha = (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DC'} );$ $\beta = (\overrightarrow {DA'} ,\overrightarrow {B'B} );$ $\gamma = (\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} )$. Khi đố biểu thức $\alpha + \beta + \gamma $ có giá trị là:
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh \(a\). Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Trong không gian cho hai tia $Ax,By$ chéo nhau sao cho $AB$ vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm $M,N$ lần lượt thay đổi trên $Ax,By$ sao cho độ dài đoạn $MN$ luôn bằng giá trị $c$ không đổi $(c~\le AB)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa $Ax,By$. Giá trị lớn nhất của $AM.BN$ là:
Cho hình hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). \(M\) là điểm trên cạnh \(AD\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} .\) \(N\) là điểm trên đường thẳng \(B{D_1}\). \(P\) là điểm trên đường thẳng \(C{C_1}\) sao cho \(M,N,P\) thẳng hàng.
Tính \(\dfrac{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} } \right|}}\).
Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) bằng