Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\ \frac{4}{3}{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất :
- A. Hàm số liên tục tại \(x = 0\)
- B. Hàm số gián đoạn tại \(x = 0\)
- C. Hàm số gián đoạn tại \(x = 1\)
- D. Tất cả đều sai
Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{ khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).
Ta có:
\(f(0) = \frac{4}{3}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + \frac{{1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}} \right)\).
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + \frac{1}{{1 - \sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{{{(x - 1)}^2}}}}}} \right) = \frac{4}{3} = f(0)\).
Vậy hàm số liên tục tại \(x= \frac{4}{3}\).
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại điểm \(x = 1\):
Chọn phát biểu đúng:
Chọn câu trả lời đúng nhất:
Chọn phát biểu sai:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 4} \). Chọn câu đúngtrong các câu sau:
(I). \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\).
(II). \(f\left( x \right)\)gián đoạn tại \(x = 2\).
(III). \(f\left( x \right)\)liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 2}}\). Chọn phát biểu đúng về \(f\left( x \right)\):
Chọn giá trị \(f(0)\) để các hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}}\)liên tục tại điểm \(x = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2}{\rm{ }},x > 1\\{x^2} + 8{\rm{ }},x < 1\\{k^2}{\rm{ , }}x = 1\end{array} \right.\). Tìm \(k\) để \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,\,\,\,x \ne 0\\a + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm \(a\) để \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 0.\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2{\rm{ khi }}x > 1\\3{x^2} + x - 1{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.\) Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
Tìm \(a\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1\\\frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\)
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}\) liên tục với mọi \(x \ne 1\).
\(\left( {II} \right)\): \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\left( {III} \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}{\rm{ , }}0 < x < 9\\m{\rm{ , }}x = 0\\\frac{3}{x}{\rm{ , }}x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên
\(\left[ {0; + \infty } \right)\) là.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\). Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\tan x}}{x}{\rm{ , }}x \ne 0 \cap x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\0{\rm{ , }}x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.
\(\left( {II} \right)\)\(f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) \ge 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.
\(\left( {III} \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;\,b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
\(\left( {IV} \right)\) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left( {a;b} \right]\) và trên \(\left[ {b;c} \right)\) nhưng không liên tục \(\left( {a;\,c} \right)\)
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\3m - 2{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}{\rm{ khi }}x > 0\\2{x^2} + 3m + 1{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3{\rm{ khi }}x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{ khi }}x < 2\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1} - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne \frac{1}{2}}\\{\frac{c}{2}}&{{\rm{ khi }}x = \frac{1}{2}}\end{array},(a,b,c \in \mathbb{R})} \right.\). Biết hàm số liên tục tại \({x_0} = \frac{1}{2}\). Tính \(S = abc\).