Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 10x + 16 \le 0\left( 1 \right)\\mx \ge 3m + 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\) vô nghiệm.
- A.
\(m > - \dfrac{1}{5}.\)
- B.
\(m > \dfrac{1}{4}.\)
- C.
\(m > - \dfrac{1}{{11}}.\)
- D.
\(m > \dfrac{1}{{32}}.\)
Hệ bất phương trình vô nghiệm nếu hai tập nghiệm của hai bất phương trình giao nhau bằng rỗng.
Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 8 \le x \le - 2.\) Suy ra \({S_1} = \left[ { - 8; - 2} \right]\).
Giải bất phương trình (2)
Với \(m = 0\) thì bất phương trình (2) trở thành \(0x \ge 1\) : vô nghiệm .
Với \(m > 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \ge \dfrac{{3m + 1}}{m}\) .
Suy ra \({S_2} = \left[ {\dfrac{{3m + 1}}{m}; + \infty } \right)\).
Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 < \dfrac{{3m + 1}}{m}\) \( \Leftrightarrow - 2m < 3m + 1 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{5}\).
Kết hợp \(m > 0\) ta được \(m > 0\).
+) Với \(m < 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \le \dfrac{{3m + 1}}{m}\).
Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{3m + 1}}{m}} \right]\).
Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{m} < - 8\) \( \Leftrightarrow 3m + 1 > - 8m \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{{11}}\).
Kết hợp với \(m < 0\) ta được \( - \dfrac{1}{{11}} < m < 0\).
Vậy \(m > - \dfrac{1}{{11}}\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\) Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) là
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\) là
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$. Khi đó mệnh đề nào đúng?
Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5$ nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Cho các tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4\); \(g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4\); \(h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \):
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức $f\left( x \right) = \;{x^2} + 12x + 36$?
Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$. Với giá trị nào của $b$ thì tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt?
Giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt?
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} $.
Các giá trị $m$ để tam thức $f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1$ đổi dấu 2 lần là
Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 > 0\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right.$ là
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \) là
Tìm $m$ để $\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R}$?
Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0,\;\;\forall x \in \mathbb{R}$?
Với giá trị nào của $a$ thì bất phương trình $a{x^2} - x + a \ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ ?
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình ${x^2} - x + m \le 0$ vô nghiệm?
Tìm \(m\) để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 - m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên âm để mọi $x > 0$ đều thoả bất phương trình ${\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2}$?
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \) là